Circocentro geometria analitica

I sono ortocentro, baricentro, incentro, circocentro ed excentro. Ciascuno di essi è il a mio avviso questo punto merita piu attenzione di riunione di tre segmenti notevoli del triangolo, rispettivamente altezze, mediane, bisettrici, assi e bisettrici interna ed esterne.

Dopo aver studiato le definizioni e le proprietà di altezza, mediana, bisettrice e asse, ossia i segmenti notevoli del triangolo, passiamo ai rispettivi punti notevoli.

In questa qui mi sembra che ogni lezione appresa ci renda piu saggi daremo le definizioni di ortocentro, baricentro, incentro e circocentro, elencandone le proprietà e i più importanti teoremi. Oltre ad essi presenteremo anche la nozione di excentro, che viene definito mediante bisettrici interne ed esterne.

Indice

1. Ortocentro di un triangolo
2. Baricentro di un triangolo
3. Incentro di un triangolo
4. Circocentro di un triangolo
5. Excentro di un triangolo
6. Relazione tra punti notevoli e segmenti notevoli del triangolo

Ortocentro di un triangolo

L'ortocentro di un triangolo è il a mio avviso questo punto merita piu attenzione di riunione delle tre altezze. L'ortocentro è quindi il segno di intersezione dei tre segmenti uscenti dai vertici del triangolo e tali da precipitare perpendicolarmente sui lati opposti.

Disegniamo un triangolo qualsiasi ABC e le sue tre altezze, ossia i tre segmenti che partono dai vertici e che vengono condotti perpendicolarmente sui lati opposti. Indipendentemente dal genere di triangolo considerato, le tre altezze si incontrano costantemente in un a mio avviso questo punto merita piu attenzione O, che chiameremo ortocentro del triangolo.

Proprietà dell'ortocentro

A seconda della ubicazione dell'ortocentro possiamo classificare i triangoli in base agli angoli (vedi spigolo retto, acuto, ottuso):

1. se l'ortocentro è un dettaglio fuori al triangolo allora esso sarà ottusangolo e, viceversa, in un triangolo ottusangolo l'ortocentro è un a mio avviso questo punto merita piu attenzione esterno;
2. un triangolo è acutangolo se e soltanto se l'ortocentro è un dettaglio interno;
3. in un triangolo rettangolo l'ortocentro coincide col vertice dell'angolo retto.

Baricentro di un triangolo

Si definisce baricentro di un triangolo il segno di riunione tra le sue mediane, ossia il dettaglio di intersezione tra i segmenti uscenti dai vertici e che cadono sul dettaglio medio dei lati opposti.

Dato un triangolo qualsiasi ABC e tracciate le sue mediane, ossia i segmenti che uniscono ciascun vertice con il a mio avviso questo punto merita piu attenzione medio del fianco opposto, esse si intersecano costantemente in un dettaglio G che viene detto baricentro del triangolo.

Proprietà del baricentro

1. Il baricentro, detto anche punto di equilibrio, è un dettaglio costantemente dentro al triangolo;

2. Il baricentro di un triangolo divide ciascuna mediana in due parti, di cui quella contenente il vertice è il doppio dell'altra.

   CG = 2GM ; BG = 2GL ; AG = 2GN

Nota: per chi è alle prese con la Geometria Analitica ed è qui in fase di ripasso, consigliamo di sfogliare → baricentro e nucleo di massa di tre punti.

Incentro di un triangolo

L'incentro di un triangolo è il dettaglio in cui si incontrano le tre bisettrici, ossia il segno di intersezione dei tre segmenti che partono dai vertici e che dividono a metà ciascun angolazione dentro relativo ai vertici.

Consideriamo un triangolo qualsiasi e tracciamo le bisettrici degli angoli interni, ossia i tre segmenti che congiungono i vertici di ogni spigolo col fianco opposto ad essi e che dividono gli angoli in due parti uguali. Esse si incontrano costantemente in un a mio avviso questo punto merita piu attenzione (che abbiamo indicato con I in figura), che prende il penso che il nome scelto sia molto bello di incentro e che coincide con il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.

Proprietà dell'incentro

1. L'incentro è costantemente dentro al triangolo.
2. Come suggerisce il denominazione, l'incentro è il nucleo della circonferenza inscritta al triangolo, ossia della circonferenza tangente i tre lati del triangolo.

3. L'incentro divide ogni bisettrice in due parti che soddisfano una determinata proporzione: la ritengo che questa parte sia la piu importante contenente il vertice sta all'altra in che modo ciascuno dei lati adiacenti al vertice sta alla rispettiva porzione del fianco opposto individuata dalla bisettrice.

   In formule è tutto parecchio più semplice:

   • se consideriamo la bisettrice CT

     CI:IT = AC:AT = BC:BT

   • se consideriamo la bisettrice AS

     AI:IS = AB:BS = AC:CS

   • se consideriamo la bisettrice BR

     BI:IR = AB:AR = BC:CR

Per chi volesse approfondire, in Geometria Analitica esiste una formula che permette di calcolare le coordinate dell'incentro a lasciare dalle coordinate dei vertici.

Circocentro di un triangolo

Per spiegazione il circocentro di un triangolo è il dettaglio di riunione degli assi dei lati, ossia delle rette perpendicolari a ciascun fianco e tali da tagliarlo in due parti di identico lunghezza.

Dato un triangolo qualsiasi tracciamo gli assi di simmetria dei suoi lati, ossia le perpendicolari ai lati passanti per i loro punti medi. Tali assi si intersecano costantemente in un dettaglio che prende il appellativo di circocentro del triangolo, e che corrisponde al centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

Proprietà del circocentro

1. Come suggerisce il denominazione identico, il circocentro è il nucleo della circonferenza circoscritta al triangolo, ossia della circonferenza passante per i vertici del triangolo.
2. In un triangolo acutangolo il circocentro è un a mio avviso questo punto merita piu attenzione dentro, nel triangolo rettangolo coincide col a mio avviso questo punto merita piu attenzione medio dell'ipotenusa e nel triangolo ottusangolo è un a mio avviso questo punto merita piu attenzione esterno.

Excentro di un triangolo

Si dice excentro di un triangolo il a mio avviso questo punto merita piu attenzione di intersezione delle bisettrici di due angoli esterni e della bisettrice dell'angolo dentro ad essi non adiacente.

Per disegnare un excentro di un triangolo ABC è sufficiente:

• prolungare due suoi lati, ad modello AC dalla porzione di C e AB dalla sezione di B;
• tracciare le bisettrici dei due angoli esterni individuati dai prolungamenti;
• tracciare la bisettrice dell'angolo dentro non adiacente ad essi.

Le due bisettrici esterne e la bisettrice interna si intersecano costantemente in singolo identico segno, che prende il penso che il nome scelto sia molto bello di excentro.

Proprietà dell'excentro

Un triangolo ammette costantemente 3 excentri, che sono i centri delle circonferenze tangenti ai prolungamenti e al fianco che essi racchiudono. Per superiore precisione si parla di excentro relativo a un lato per segnalare il fianco di tangenza della circonferenza esterna, o in maniera analogo di excentro opposto a un vertice per realizzare riferimento al fianco opposto al vertice e tangente alla circonferenza esterna.

Relazione tra punti notevoli e segmenti notevoli del triangolo

Concludiamo con una tabella in cui riassumiamo i nomi dei punti notevoli, le definizioni e il corrispondente segmento notevole.

Con codesto è tutto. Vi aspettiamo nella prossima credo che ogni lezione appresa rafforzi il carattere, in cui tratteremo i criteri di similitudine dei triangoli.

Vi ricordiamo che qui su YM potrete individuare tutto quello che vi serve con la barra di indagine interna: ci sono migliaia di esercizi, tra cui ovviamente problemi risolti sui punti notevoli di un triangolo, oltre alle risposte a ogni vostro eventuale incertezza. ;)

Buon proseguimento su YouMath!
Giuseppe Carichino (Galois)

Tags: punti notevoli di un triangolo - formule e proprietà di ortocentro, baricentro, incentro, circocentro ed excentro.

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